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�閿謖庵紙夥ǎ�突嵯萑胍恢痔茁肥健⒔燙跏降哪Ｊ劍�苣蚜私獾絞�У牟ɡ階忱�Ｎ蟻衷詮乖熗礁齪���桓鍪莥=8－2x2，再一個是y=x－1，那麼大家看，剛才這個問題就變了，變成這兩個函式，誰比誰大的問題。大家注意，第一個函式，它是橢圓的上半部分，第二個的圖形呢，它是一條直線，那麼這個問題就變成了這條直線和橢圓相交，然後只要看看那兩個影象的交點，就把這個題很簡單地解出來了。本來是一個解不等式的問題，但是構造兩個函式之後，透過求解交點，就轉化成一個等式的解法，這是數學中的一個巨大的變化。大千世界相等是短暫的，不等是永恆的，但是利用了這種函式思想，就能夠抓住相等的那一剎那，解決永恆的不等的問題，它的智慧就在這兒。第二種方法簡潔，解法正確率高，更重要的是，這第二種解法體現出數學的一個非常重要的思想，就是數形結合。
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第29節：數學有一種驚人之美（3）
如果這個題再做變化，比如說我要是把那個…1，偷偷地換成一個a，那麼你會發現，剛才提供的第一種解法，就無能為力了。因為那個a是啥呢？這個討厭的a，它變化多端，每一次變化都給這個不等式的解法帶來滅頂之災，但是你要利用第二種解法，那麼這個問題就好解決了。構造兩個函式，一個是y=8－2x2，再一個是y=x＋a，剛才講過，y=8－2x2，它其實就是橢圓的上半部分，y=x＋a是一組平行直線，它的斜率是1，隨著a的變化，那條直線在不斷地變化。
這個題在高考中，應該是一種比較有難度，而且也非常常見的題目，就是分類討論。我們透過這個圖形一看，就可以分成四段來討論，一目瞭然。透過這個題，我們可以看到，方程是數學上非常核心的概念，可以在函式的觀點下，和不等式統一起來，這就是函式在數學中的重要性。一方面，要解決的具體問題一旦歸結為函式，就可以把一些區域性的問題，拿到高瞻遠矚的全域性上去解決，所以區域性的問題就變得很簡單；另外，能夠把靜態的問題，放到波瀾壯闊的動態的過程中去研究，使問題變得簡單，比如說那個解不等式的問題。
有了這樣的一個背景，這個題可以隨意變。透過觀察影象，得出了a<；…2時，它的解是什麼；…2≤a＜2時，它的解是什麼；2≤a＜2 3時，它的解是什麼；最後a≥2 3時，它的解集是空集。順著這個題，我現在逆向思維，不讓你解這個等式，而是已知這個不等式的解集為＇…2，2＇，求a的範圍。那麼大家再看剛才那個圖，這個不等式的解集是＇…2，2＇，就是說在＇…2，2＇這個區間，這條拋物線始終應該在這條直線的上方。從圖上一看，答案不用動手就出來了，是a＜…2。如果這個題不是透過這樣的一種方法來做的話，那就難上加難了。我再進行第二變，剛才不是解這個不等式嗎，現在不解不等式了，換一個什麼呢？已知這個方程8－2x2…x=a，說這個方程恆有解，求a的範圍。這個題目和原來那個題相比，其實就是一個符號之差，原先是個大於號，我現在變成個等號，這兩個題目的背景和解題的氛圍，就發生了很大的變化。但當你考慮函式的背景時就會發現，這兩個題目完全是同一種題目。還是看剛才那個圖，這個方程恆有解，不就意味著那條直線和那個橢圓恆有交點嗎？我們觀察影象可知，當…2≤a＜2 3這個範圍內時，直線和橢圓恆有交點，根本不用計算。但我可以告訴你，這個題是有一年高考的一個很難的題目。還有更精彩的，現在我不是說這個方程有解了，而是說這個方程有兩個不同的解，求a的範圍。這不同的解就意味著這條直線和這上半個橢圓，得有兩個不同的交點，看看圖就一目瞭然了。於是這個題目的答案又得到解決。我們還可以繼續變，若是在＇…1；1＇內有解呢，求a的範圍，這個答案也很好找出來。
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第30節：數學有一種驚人之美（4）
再看一個題，還是各種複習材料上都會有的一個題目：
y=mx2＋43x＋nx2＋1
這個函式的最大值是7，最小值是…1，求m，n。我經常給學生講的一句話，叫〃上帝讓誰死亡，必先讓誰瘋狂〃，這個現實生活中的道理，在數學上也有恰到好處的應用。大家看這個題，這個函式中有四個字母，一個x一個y，一個m一個n，那麼我們現在要求m，n。我要做的就是怎麼能把x和y消掉而後快。大家看，我先把x2幹
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